因式分解的12种方法的详细解析（帮你学好因式分解）
对于多项式的因式分解，提取公因式法是基本方法之一，此外又一种基本方法是运用公式法．，我来为大家科普一下关于因式分解的12种方法的详细解析?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!
因式分解的12种方法的详细解析
对于多项式的因式分解，提取公因式法是基本方法之一，此外又一种基本方法是运用公式法．
这里所说 公式是指乘法公式中的平方差公式(a b)(a-b) =a^2-b^2和完全平方公式(a±b)^2= a^2±2ab b^2．运用这两个乘法公式为什么可以进行因式分解呢？因为把这两个公式反过来就是下面两个公式：
a^2-b^2=(a b)(a-b)……（1）
a^2±2ab b^2=(a±b)^2……（2）
公式(1)仍然叫做平方差公式，公式(2)还是叫做完全平方公式，但它们的作用已经彻底变了，原来是用于进行多项式乘法运算，现在是用来进行因式分解．
根据公式(1)、(2)，只要多项式符合公式(1)或(2)左边的条件，我们就可以把它分解为右边的因式相乘．运用公式(1)或(2)进行因式分解的方法就叫做运用公式法．
从公式来看，能运用平方差公式(1)分解的多项式首先必须是两项式，其次是这两项都必须是某个式子的平方，最后还必须是差的形式，即前者平方减去后者平方．这三个条件可以简单记作“两项皆平方，符号恰相反．”
例如，x^2 y^2中，两项虽然都是平方，但它们的符号却都是带正号“ ”，不满足“符号恰相反”的条件，所以不能运用平方差公式分解的．同样地，-x^2-y^2也是不满足平方差公式条件的．
又如，x^2-y中，两项符号虽然相反，但前者平方，后者不是平方，不满足“两项皆平方”条件，所以不能运用平方差公式分解．
当两项式满足平方差条件时，根据公式(1)就可以把它分解为两个因式相乘，这两个因式分别是这两个平方底数的和与差．
例如，x^2-y^2是平方差，平方底数分别是x、y，分解的结果是x、y的和乘以x、y的差，即(x y)(x-y)．
在平方差公式(1)中的a、b，它们所代表不仅仅是单独的字母，也可以是具体的数字，还可以是单项式、多项式等．
在运用平方差公式因式分解时常常需要先对a、b进行简单的变形，化为地地道道的平方差后再分解，同时注意几点几点：
（1）当a或b中有一个是数字时，这个数题目一般不写成平方的形式，此时我们要根据该数的大小把它写成平方的形式，然后再分解．
例如，a^2-4，把4写成4的平方2^2，则
原式=a^2-2^2
=(a 2)(a-2)．
（2）当a、b为单项式时，有时需要先对单项式进行整理为(…)^2这样的平方后再分解．
例如，9x^2-y^2，先把9x^2写成(3x)^2，则
原式=(3x)^2-y^2
=(3x y)(3x-y)．
又如，a^2b^2-1，先把a^2b^2写成(ab)^2，同时把1写成1^2，则
原式= (ab)^2-1^2
=(ab 1)(ab-1)．
（3）当a、b指数为大于2的偶数时，先把它们写成幂的平方差后再分解．
例如，x^4-y^2，把x^4写成(x^2)^2，则
原式=(x^2)^2-y^2
=(x^2 y)(x^2-y)．
（4）当a、b是多项式时，先留括号再整理．
例如，(2x y)^2-(x-2y)^2，分解为两数和乘以两数差时，先把(2x y)与(x-2y)的括号留下，再去括号整理．即
原式=[(2x y) (x-2y)][ (2x y)-(x-2y)]
=(3x-y)(x-3y)．
（5）当“差”的负号“-”在第一项前面时，先把前后两项的位置交换一下．
例如，-m^2 n^2，先把前后项（包括符号）的位置交换，化为n^2-m^2，再分解．即
原式= n^2-m^2
=(n m)(n-m)．
在运用提取公因式法进行因式分解时，我们遇到过公因式提取后，新因式经过整理又出现了新的公因式，此时需要再次提取才算分解完成．在运用平方差公式分解时也会遇到过这种情况，此时我们必须再次运用平方差公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止．
例如，a^4-1，第一次运用平方差公式分解为(a^2 1)(a^2-1)后，第一个因式(a^2 1)是不能再分解的，但第二个因式(a^2-1)显然又可以再用平方差公式分解为(a 1)(a-1)．分解过程如下：
原式=(a^2 1)(a^2-1)
=(a^2 1)(a 1)(a-1)．
运用公式法因式分解是在多项式用提取公因式不能时才考虑的方法，因此，当多项式有公因式时一定要先提取公因式，然后再考虑能否用公式继续分解？
例如，分解因式：4a^3-9a．
多项式虽然是两项差的形式，却不是平方差，怎么分解呢?先观察一下这两项有公因式吗？有！公因式是a，因此，先提取公因式a，化为a(4a^2-9)，再考虑新因式(4a^2-9)能否继续分解？
解：原式=a(4a^2-9)
=a[(2a)^2-3^2]
= a(2a 3)(2a-3)．
再如，因式分解：(a-b)a^2 (b-a)b^2.
注意a-b与b-a是互为相反数，它们可以相互转化成公因式，先提取后再看看能否继续分解？
解：原式=(a-b)a^2-(a-b)b^2
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a b)(a-b)
=(a-b)^2(a b)．
运用平方差公式分解后，有时还会出现有公因式，此时仍然需要把公因式提取出来．
例如，分解因式：(a-3b)^2-(3a b)^2.
解：原式=[(a-3b) (3a b)][(a-3b)-(3a b)]
=(4a-2b)(-2a-4b)
=2(2a-b)·(-2)(a 2b)
=-4(2a-b)(a 2b)．
有些多项式我们所看到的的既没有公因式，也不能运用公式法，怎么分解呢？
例如，分解因式：(a b)(a-2b) b(a-7b).
显然，该多项式没有公因式可提取，也不能运用平方差公式，我们唯一能做的是进行计算、化简，因此，就先把它化简后再确定然后分解．
解：原式=a^2-2ab ab-2b^2 ab-7b^2
=a^2-9b^2
= a^2-(3b)^2
=(a 3b)(a-3b)．
最后再看几个例子：
例1 分解因式：25(a b)^2-9(a-b)^2.
解：原式=[5(a b)]^2-[3(a-b)]^2
=[5(a b) 3(a-b)][5(a b)-3(a-b)]
=(8a 2b)(2a 8b)
=2(4a b)·2(a 4b)
=4(4a b)(a 4b)．
例2 因式分解：27a^3x^2-75ax^4.
解：原式=3ax^2(9a^2-25x^2)
=3ax^2[(3a)^2-(5x)^2]
=3ax^2(3a 5x)(3a-5x).
例3 因式分解：x^5-16x．
解：原式x(x^4-16)
=x(x^2 4)(x^2-4)
= x(x^2 4)(x 2)(x-2)．
练习：把下列多项式因式分解：
（1）8x^2-18．
（2）4m3-9mn^2.
（3）64x^2-36．
（4）(x-1)y^2 (1-x).
（5）a^4-625.
（6）2a^2-1/2.
（未完待续）
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